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Introdução sobre Matemática por Wagner Cristiano

    A matemática é usada como uma ferramenta essencial em muitas áreas do conhecimento, tais como engenharia, medicina, física, química, biologia, e ciências sociais. Matemática aplicada, ramo da matemática
que se ocupa de aplicações do conhecimento matemático em outras áreasdo conhecimento, às vezes leva ao desenvolvimento de um novo ramo, como aconteceu com Estatística ou teoria dos jogos. O estudo de
matemática pura, ou seja, da matemática pela matemática, sem a preocupação com sua aplicabilidade, muitas vezes mostrou-se útil anos ou séculos adiante, como aconteceu com os estudos das cônicas ou de
teoria dos números feitos pelos gregos, úteis, respectivamente, em descobertas sobre astronomia feitas por Kepler no século XVII, ou para o desenvolvimento de segurança em computadores nos dias de hoje.

A matemática vem sendo construída ao longo de muitos anos. Resultados e teorias milenares se mantêm válidos e úteis e, ainda assim, a matemática continua a desenvolver-se permanentemente. Registros arqueológicos mostram que a matemática sempre foi parte da atividade humana. Ela evoluiu a partir de contagens, medições, cálculos e do estudo sistemático de formas geométricas e movimentos de objetos físicos. Raciocínios mais abstratos que envolvem argumentação lógica surgiram com os matemáticos gregos aproximadamente em 300 a.C.,

Há muito tempo busca-se um consenso quanto à definição do que é a matemática. No entanto, nas últimas décadas do século XX tomou forma uma definição em ampla aceitação entre os matemáticos é a ciência
Segundo esta definição, o trabalho do matemático consiste em examinar padrões abstratos, tanto reais como imaginários, visuais ou mentais. Ou seja, os matemáticos procuram regularidades nos números no espaço, na ciência e na imaginação e formulam teorias com as quais tentam explicar as relações observadas. Uma outra *definição* seria que matemática é a investigação de estruturas abstratas definidas axiomaticamente, usando a lógica formal como estrutura em comum. As estruturas específicas geralmente têm sua origem nas ciências naturais mais comumente na física, mas os matemáticos também definem e investigam estruturas por razões puramente internas à matemática (matemática pura, por exemplo, ao perceberem que as estruturas fornecem uma generalização unificante de vários subcampos ou uma ferramenta útil em cálculos comuns.
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A matemática é usada como uma ferramenta essencial em muitas áreas do conhecimento, tais como engenharia, medicina, física, química, biologia, e ciências sociais. Matemática aplicada, ramo da matemática que se ocupa de aplicações do conhecimento matemático em outras áreas do conhecimento, às vezes leva ao desenvolvimento de um novo ramo, como aconteceu com Estatística ou teoria dos jogos. O estudo de matemática pura, ou seja, da matemática pela matemática, sem a preocupação com sua aplicabilidade, muitas vezes mostrou-se útil anos ou séculos adiante, como aconteceu com os estudos das cônicas ou de teoria dos números feitos pelos gregos, úteis, respectivamente, em descobertas sobre astronomia feitas por Kepler no século XVII, ou para o desenvolvimento de segurança em computadores nos dias de hoje.

Salvador, o hipocondriaco

102. Osso duro de roer

Equações Exponenciais

Equações exponenciais são aquelas em que a incógnita se encontra no expoente de pelo menos uma potência. A forma de resolução de uma equação exponencial permite que as funções exponenciais sejam também resolvidas de forma prática. Esse tipo de função apresenta características individuais na análise de fenômenos que crescem ou decrescem rapidamente. Elas desempenham papéis fundamentais na Matemática e nas ciências envolvidas com ela, como: Física, Química, Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia entre outras.

Exemplos de equações exponenciais:

10^x = 100
2^x + 12 = 20
9^x = 81
5^x+1 = 25

Para resolvermos uma equação exponencial precisamos aplicar técnicas para igualar as bases, assim podemos dizer que os expoentes são iguais. Observe a resolução da equação exponencial a seguir:

3^x = 2187 (fatorando o número 2187 temos: 3⁷)
3^x = 3⁷
x = 7

O valor de x na equação é 7.


Vamos resolver mais algumas equações exponenciais:


2^{x + 12} = 1024
2^{x + 12} = 2¹⁰
x + 12 = 10
x = 10 – 12
x = – 2


2 ^{4x + 1} * 8 ^{–x + 3} = 16 ^–1
2 ^{4x + 1} * 2 ^{3(–x + 3)} = 2 ^-4
2 ^{4x + 1} * 2 ^{–3x + 9} = 2^-4 
4x + 1 – 3x + 9 = – 4
4x – 3x = –1 – 4 – 9
x = – 14


5 ^{x + 3 *} 5 ^{x + 2} * 5 ^x = 125
5 ^{x + 3} * 5 ^{x + 2} * 5 ^x = 5 3
x + 3 + x + 2 + x = 3
3x = 3 – 5
3x = – 2
x = –2/3


2 ^{3x – 2} * 8 ^{x + 1} = 4 ^{x – 1}
2 ^{3x – 2} * 2 ^{3(x + 1)} = 2 ^{2(x – 1)}
3x – 2 + 3(x + 1) = 2(x – 1)
3x – 2 + 3x + 3 = 2x – 2
3x + 3x – 2x = – 2 + 2 – 3
4x = – 3
x = –3/4


2 ^{2x + 1} * 2 ^{x + 4} = 2 ^{x + 2} * 32
2 ^{2x + 1} * 2 ^{x + 4} = 2 ^{x + 2} * 2 ⁵
2x + 1 + x + 4 = x + 2 + 5
2x + x – x = 2 + 5 – 1 – 4
2x = 2
x = 1

Função Exponencial

Toda relação de dependência, em que uma incógnita depende do valor da outra, é denominada função. A função denominada como exponencial possui essa relação de dependência e sua principal característica é que a parte variável representada por x se encontra no expoente. Observe:

y = 2 ^x
y = 3 ^{x + 4}
y = 0,5 ^x
y = 4 ^x

A lei de formação de uma função exponencial indica que a base elevada ao expoente x precisa ser maior que zero e diferente de um, conforme a seguinte notação:

                                    f: R→R tal que y = a ^x, sendo que a > 1 ou 0 < a < 1.

Uma função pode ser representada através de um gráfico, e no caso da exponencial, temos duas situações: a > 1 e 0 < a < 1. Observe como os gráficos são constituídos respeitando as condições propostas:

                                       

Uma função exponencial é utilizada na representação de situações em que a taxa de variação é considerada grande, por exemplo, em rendimentos financeiros capitalizados por juros compostos, no decaimento radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento de bactérias e micro-organismos, crescimento populacional entre outras situações. As funções exponenciais devem ser resolvidas utilizando, se necessário, as regras envolvendo potenciação.

Vamos apresentar alguns exemplos envolvendo o uso de funções exponenciais.

Exemplo 1

(Unit-SE) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v₀ * 2 ^–0,2t, em que v₀ é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi comprada.
Temos que v(10) = 12 000, então:

v(10) = v₀ * 2 ^–0,2*10

12 000 = v₀ * 2 ^–2

12 000 = v₀ * 1/4

12 000 : 1/ 4 = v₀

v₀ = 12 000 * 4

v₀ = 48 000

A máquina foi comprada pelo valor de R$ 48 000,00.



Exemplo 2

(EU-PI) Suponha que, em 2003, o PIB (Produto Interno Bruto) de um país seja de 500 bilhões de dólares. Se o PIB crescer 3% ao ano, de forma cumulativa, qual será o PIB do país em 2023, dado em bilhões de dólares? Use 1,03²⁰ = 1,80.

Revisão de Potências

Potência é todo número na forma aⁿ, com a ≠ 0.

a é a base, n é o expoente e aⁿ é a potência.

aⁿ = a x a x a x a x...a (n vezes)

Por convenção, admitiremos que todo número elevado a 0 é igual a 1, a⁰ = 1 e todo número elevado a 1 é igual a ele próprio, a¹ = a.

Exemplos

2¹ = 2                          54⁰ = 1                              4⁴ = 256                             5³ = 125

Potência de base racional

Para resolver uma potência cuja base é um número fracionário, elevamos tanto o numerador quanto o denominador da fração ao expoente dado.

Exemplo

Potência de expoente negativo

A ideia de inverso é utilizada para solucionar potências de expoente negativo, transformamos numerador em denominador, e vice-versa, logo após, tornamos o expoente positivo.

Exemplos

Multiplicação de potências de mesma base

Resolvemos a multiplicação de potências de mesma base conservando uma das bases e adicionando os expoentes.

a­^m . aⁿ  =  a^{m + n}

Exemplos

Divisão de potências de mesma base

Toda divisão de potências de mesma base, com esta diferente de zero, pode ser resolvida conservando uma das bases e subtraindo os expoentes.

a^m : aⁿ = a^{m – n}, com a ≠ 0.

Exemplos

Multiplicação de fatores elevados ao mesmo expoente

Para o produto de dois ou mais fatores elevados ao mesmo expoente, elevamos cada um dos fatores ao expoente dado na questão.

(a . b)ⁿ = aⁿ . bⁿ

Exemplos

(5 . 6)⁴ → 5⁴ . 6⁴                                         (0,2 . 1,3)³ → (0,2)³ . (1,3)³

Divisão de expoente igual

Aqui segue-se o mesmo critério dado na propriedade anterior: eleva-se o dividendo e o divisor ao mesmo expoente.

(a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ

Exemplos

(9 : 8)⁵ = 9⁵ : 8⁵                                                 (2,3 : 0,1)² = (2,3)² : (0,1)²

Potência de potência

Quando elevamos uma determinada potência à outra potência, temos uma potência de potência. Para resolvê-la, podemos conservar a base e multiplicar os expoentes.

(a^m)ⁿ = a^{m . n}

Exemplos

(2³)⁴ → 2^{3 . 4} = 2¹²                                             [(1/5)²]⁵ → (1/5)^{2 . 5} = (1/5)¹⁰

Potência de base 10

A potência de base 10 é utilizada para abreviar a escrita de números que contenham n fatores 10, facilitando assim sua representação.

Exemplos

10⁵ = 100000 (5 zeros)
10⁷ = 10000000 (7 zeros)
10³ = 1000 (3 zeros)

Nesse tipo de potência, quanto o expoente for positivo, ele indica a quantidade de zeros que deverão ser acrescentados após o algarismo 1.

10^-2 = 0,01 (2 casas decimais)
10^-5 = 0,00001 (5 casas decimais)

Aqui, como o expoente é negativo, ele indica o número de casas decimais que deverão ser criadas a partir do zero e com final 1.

Considerações finais

É muito importante e necessário que se conheça sobre os vários tipos de conteúdos que nos ajudam a, cotidianamente, facilitar nossa vida social. Exemplo disso são as potências. Elas nos trazem conforto na hora de calcular, nos ajudam a compreender melhor as ideias de divisão e multiplicação, nos abrem as portas, através de suas propriedades, dos saberes algébricos generalizantes do conhecimento matemático e facilitadores da aplicabilidade dos estudos realizados.

Nenhum conhecimento é tão completo que encerre-se em si mesmo, nem tão pobre que deva ser descartado ao primeiro olhar. Todos os sabres deverão passar por sério processo de análise, processamento mental e arquivamento, pois, com certeza, eles serão utilizados posteriormente à medida que novos desafios forem surgindo em nossas jornadas naturais. Não tenhamos os estudos como fardos que somos obrigados a levar ao longo dos nossos dias, mas sim, como relíquias, que temos que guardar, apreciar e exibir como troféus conquistados nas maratonas do saber educacional. 

“Uma boa educação é aquela que prepara cidadãos críticos e reflexivos sobre os males que assolam a sociedade na qual estão inseridos.”

Robison Sá. 

Quarto Bimestre

Chegamos ao Quarto Bimestre.
Depois de um tempo ausente este blog recomeça com força total!
Haverá desafios valendo pontos e prêmios. A partir de agora colocarei simultaneamente o desafio aqui e no grupo do Facebook: Se liga 1001 e Se liga 1002. Portanto procurem e façam o contato necessário. Qualquer problema me avisem.
Abraços! Professor Marcelo

Bhaskara por Wagner Cristinao

Bhaskara Akaria (em canarês: ಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯ; 1114 — 11851 ), também 
conhecido como Bhaskara II2 nasceu próximo à Vijayapura, na Índia.
Nascido numa tradicional família de astrólogos indianos, seguiu a
tradição profissional da família, porém com uma orientação científica,
dedicando-se mais à parte matemática e astronômica (tais como o
cálculo do dia e hora da ocorrência de eclipses ou das posições e
conjunções dos planetas) que dá sustentação à Astrologia.

Foi um matemático, professor, astrólogo e astrônomo, o mais importante
matemático do século XII e último matemático medieval importante da
Índia. Seus méritos foram logo reconhecidos e muito cedo atingiu o
posto de diretor do Observatório de Ujjain, o maior centro de
pesquisas matemáticas e astronômicas da Índia na época, fama
desenvolvida por excelentes matemáticos como Varahamihira e
Brahmagupta, que ali tinham trabalhado e construído uma forte escola
de astronomia matemática. Ele viveu maior parte de sua vida na região
de Sahyadri.3

Sua obra representou a culminação de contribuições hindus anteriores.
Seis trabalhos seus são conhecidos e um sétimo trabalho, reivindicado
para ele, é considerado por muitos historiadores como uma não
falsificação posterior. Filho de um astrólogo famoso chamado
Mahesvara4 , tornou-se conhecido pela complementação da obra do
conterrâneo Brahmagupta, por exemplo dando pioneiramente a solução
geral da conhecida equação de Pell e a solução de um problema da
divisão por zero, ao afirmar também pioneiramente, em sua publicação
Vija-Ganita ou Bijaganita, um trabalho em 12 capítulos, que tal
quociente seria infinito.


O livro mais famoso de Bhaskara Akaria é o Lilavati, obra elementar
dedicada a problemas simples de aritmética, geometria plana (medidas e
trigonometria elementar) e combinatória.

A palavra Lilavati é um nome próprio de mulher (a tradução é
"Graciosa"), e a razão de ter dado esse título a seu livro é porque,
provavelmente, teria desejado fazer um trocadilho comparando a
elegância de uma mulher da nobreza, com a elegância dos métodos da
aritmética.

Em uma tradução turca desse livro, feita 400 anos mais tarde, teria
sido inventada a história de que o livro seria uma homenagem à filha
que não pode se casar.[carece de fontes] Bhaskara escreveu também um
livro chamado Vijaganita, que mostra como resolver equações. Foi o
primeiro livro a reconhecer que um número positivo pode ter duas
raízes, uma positiva e outra negativa. Escreveu várias obras sobre
Matemática e Astronomia: "Bijaganita" (Compêndio de Aritmética),
"Goladhia" (Teoria da Esfera), "Siddhanta Siromani (Jóia de precisão),
"Karanakutuhala" (Cálculo de Maravilhas da Astronomia) sendo a mais
conhecida o "Lilavati".

Professor Rodrigo Sacramento - A Curtição do Sacra (Função Quadrática) N...

CANÇÃO DA TRIGONOMETRIA Aula de Matemática com Música

Desafio da Semana

Um fazendeiro tem 100 m de cerca para construir uma área retangular. Determine suas dimensões sabendo que a sua área equivale a 600 metros quadrados:

Dica: Chame as dimensões do retângulo de x e y:

Como área do retângulo é base x altura então: A = xy = 600.

Resposta por Luana de Oliveira

y= 50-x
x(50-x)= 600
-x²+50x-600=0
Delta: b²-4ac
50²-4.(-1).(-600)
2500-2400= 100

x= -50+- 10/ -2
-50+10/-2=20
-50-10/-2=30

x= 20 y=30

Problema Resolvido de Função Quadrática

PM ES 2013 – Exatus)

Uma agência de viagens vende pacote turísticos coletivos com destino a Fortaleza. Um pacote para 40 clientes custa R$ 2000,00 por pessoa e, em caso de desistência, cada pessoa que permanecer no grupo deve pagar mais R$ 100,00 por cada desistente do pacote de viagem. Dessa forma, para que essa agência obtenha lucro máximo na venda desse pacote de viagens, o número de pessoas que devem realizar a viagem é igual a:

Solução: O preço total é dado pela quantidade de pessoas vezes o preço por pessoa, que é 2000 mais 100 por desistente. C(x) = x(2000 + 100(40 – x))

C(x) = x(2000 + 4000 – 100x)                   C(x) = x(6000 – 100x)
C(x) = 6000x – 100x²
Temos uma função do segundo grau.
Vamos calcular as raízes: 6000x – 100x² = 0.           60x – x² = 0
X(60 – x) = 0         Assim, x = 0 ou x = 60

Como em nossa função o valor de a = -100 < 0, o gráfico é uma parábola para baixo, portanto possui valor máximo, e é exatamente o valor entre as raízes 0 e 60, portanto o valor máximo ocorre quando x = 30.

Bhaskara

A Índia foi berço de nascimento de um dos maiores matemáticos do mundo, Bhaskara.

 ... nasci na cidade de Ujein, às margens do rio local, de uma mulher que possuía uma boa saúde, mas, por infelicidade e complicação de parto, morreu ao me dar à luz em 1114. Meu pai era um alto funcionário do marajá local, e isso permitiu que eu tivesse oportunidade de me instruir nas ciências e nas leis.
Com a morte de seu pai, em 1134, Bhaskara assumiu o cargo de secretário do governo de Ujein, espécie de juiz especializado em inventários:

"...foi então que Brabmagta me convidou para ser o matemático do governo. Trabalhava particularmente com problemas de quadrado, os quais se relacionavam às partilhas dos inventários. Di­vertia-me resolvendo aqueles exercícios, que para muitos eram com­plicados, mas com minha técnica de solução...

O  que Bhaskara chama de problemas de quadrado refere-se hoje as equações do segundo grau.

... o quadrado da quantidade de ouro referente ao primeiro Órfão mais três vezes essa mesma quantidade doada ao seguinte órfão deverá ser igual, por Justiça, a trinta e oito gramas...
Bhaskara imortalizou-se aos 25 anos quando escreveu seu célebre Lilavati Vijaganita Grahagonita Gola, cujas palavras traduzidas individualmente, são: bonita cálculo - planetas - esfera. Aparentemente o manuscrito que teria sido escrito por Bhaskara e achado em Cachemira no século passado era dividido em quatro capítulos: Poesia, Matemática, Astronomia e Geometria. Daí o título confuso. É interessante notar que o trabalho desse matemático é todo escrito em versos destinados a sua filha:
"...minha filha, minha filha, a coisa mais bonita da Índia, me fale de suas dúvidas. Oh, querida, você esteve a tarde contando macacos, uns estavam nas arvores, outros no alto da montanha­.....
O Lilavati Vijaganita traz ao público inúmeras descobertas de seu autor, sendo a mais célebre a fórmula que resolve as equações do segundo grau, seguida da clássica regra de três que Bhaskara chamou regra de quatro (três valores conhecidos e um desconhecido). Aparece também o valor de p como sendo 3, 14, resquícios da trigonometria de Ptolomeu e o Teorema de Pitágoras
minha filha Lilavati tem me questionado sobre os valores do lado oposto e adjacente de um triângulo retângulo.
Os gregos nos ensinaram a responder sobre o seno e o co-seno de um ângulo...
Nesse trecho do Lilavati víjaganita o autor chama sua filha de Lilavati, o que tem induzido muitos escritores a pensar que a melhor tradução do titulo de seu livro seja Matemática de Lilavati.
Sobre a filha de Bhaskara, existem duas versões nos textos antigos do século
XIII registrados pelos padres do mosteiro de Constantinopla:
"...quando os bárbaros invadiram a cidade de Uzein, seqüestraram todas as pessoas importantes, bem como seus bens. Lilavati tinha apenas treze anos. Seu pai, questionado pelos invasores sobre sua fórmula de re­solver problemas, recusou-se a falar. Dizia tê-la esquecido já há muitos anos. Para ajuda-lo com a memória, levaram sua filha pa­ra o alto de uma torre, despiram-na e amarraram -lhe as pernas, abertas. Solta, ela deslizou sobre os bambus que conduziam a uma lâmina afiada que dividiu seu corpo em duas  partes...
 .... Bhaskara prometeu a Lilavati um horóscopo que identificasse o dia e hora ideal que deveria se casar. Uma vez determinado o momento, Lilavati esperou dois anos para desposar um jovem hindu. Quando faltavam alguns minutos para a cerimônia ao casamento, a jovem perdeu uma pérola que tinha pertencido à sua mãe e, entretida em procura-la, esqueceu do casamento. Bhaskara então recusou-se a  casá-la e Lilavati cometeu suicídio...
A obra deste hindu traz, além de informações matemáticas, um raio X da sociedade de sua época. Relata que uma escrava alcançava preço máximo de quinze para dezesseis anos. Caso fosse bonita e virgem, valia oito bois; bonita e não virgem, quatro; feia e virgem, seis; e feia e não virgem, dois bois. Os juros praticados em seu tempo eram de quatro por cento ao mês, e o prazo de pagamento dos empréstimos não ultrapassava cinco meses. As dívidas não honradas davam ao credor o direito de escravizar a mulher e filhos do devedor, o qual, porém, não sofria nenhuma punição. Bhaskara teria escrito.
Esses homens que pedem clemência, quando da execução judicial, não entendem nossas leis. Por que emprestam dinheiro e arrendam terras se sabem que não poderão cumprir com as dívidas contraídas? Minha função é julgar e partilhar como prescreve nosso livro maior (espécie de Constituição)...
Em 1185, Bhaskara, então com 71 anos, morreu afogado num rio onde teria ido nadar.

Origem da Função Quadrática

Há registros de problemas envolvendo equações quadráticas com três termos, deixados pelos babilônios há aproximadamente 4000 anos .Esses estudos demonstram uma grande flexibilidade existente na Algébra desenvolvida entre eles , outros povos também contribuíram com esta parte da Álgebra até que se chegasse à representação atual de uma equação quadrática ax² + bx + c = 0com a não nulo , na qual o valor de x é obtido pela fórmula de Bháskara.
Essa organização de simbolos , que simplifica o estudo das quadráticas , é recente se for comparada com a idade da Álgebra.Foi no século XVII que Descartes utilizou as letras a, b e c para representar quantidades conhecidas e as letras do final do alfabeto , x, y e z , para representar as incógnitas. Além disso passou a usar a representação x² em lugar de x . x e x³ em lugar de x . x . x - René Descartes (1596-1650) era francês , formado em Direito e aos vinte anos sua insatisfação lançou-o como reformulador da filosofia que influenciava os acadêmicos da época. O seu mais celébre tratado, O discurso sobre o método para raciocinar bem e procurar a verdade nas ciências , é de 1637 e originou a Geometria Cartesiana , hoje dita Geometria Analítica , que nos mostra como as cinco operação aritméticas correspondem a construções feitas com régua e compasso,justificando a introdução de termos aritméticos em geometria.

Texto: Cleyton da Silva (1001)

Quarto Desafio

Vamos ao quarto desafio deste blog:
Só vale quem acertar por exato os dois problemas abaixo: Quem puder comprovar com cálculos seria melhor e até para questões de desempate. Mas você pode colocar aqui ou no grupo Se Liga 1001 ou Se Liga 1002 no Facebook.
Queria pedir aos alunos que visualizam mas não conseguem participar que mande para meu e-mail prof.marcelo@gmail.com ou sinalize no grupo mencionado acima. O importante é participar.

(1) Sabendo que certo ângulo de lançamento, a altura K lançada por uma pedra, em metros, em função do tempo t, em segundos é dada por K = (-1/60) t² + t. A partir disso, resolva:

(a) Em quanto tempo, após o lançamento da pedra ela atinge a altura máxima?

Xv = -1/2(-1/60) = 1/1/30 = 30 segundos.

(b) Qual a altura máxima atingida pela pedra em relação ao plano horizontal de onde foi lançada?

Yv = (-1/60). (900) + 30 = -15 + 30 = 15 metros.

(2) Segundo afirmam os fisiologistas, o número N de batimentos cardíacos por minuto de um indivíduo sadio e, em repouso varia em relação a temperatura ambiente (T) em graus Celsius e é dada pela função N(T) = (0,5)T² - 4T + 90.

(a) Se uma pessoa estiver dormindo num quarto cuja refrigeração seja 20º C. Qual será o número de batimentos cardíacos por minuto dessa pessoa?

N(20) = (0,5) (400) - 4(20) + 90 = 200 - 80 + 90 = 170 batimentos cardíacos.

^(b) A que temperatura, o número de batimentos cardíacos por minuto de uma pessoa sadia e, em repouso atingirá 90?

90 = (0,5) T.T - 4T + 90
90 - 90 = 0,5TT - 4T
0,5TT - 4T = 0
T(0,5T - 4) = 0,
T = 0 e 0,5T - 4 = 0
0,5T = 4
T = 4/0,5
T = 8º C

História da Matemática

A história da matemática é uma área de estudo dedicada à investigação sobre a origem das descobertas da matemática e, em uma menor extensão, à investigação dos métodos matemáticos e aos registros ou notações matemáticas do passado.

Anteriormente à modernidade e à expansão mundial do conhecimento, os exemplos escritos de novos progressos matemáticos tornaram-se conhecidos em apenas poucas localidades. Os textos matemáticos mais arcaicos disponíveis que nos são conhecidos são o Plimpton 322 (matemática babilônica, cerca de 1900 a.C.) , o Papiro Matemático de Rhind (matemática egípcia, cerca de 2000-1800 a.C.) e o Papiro Matemático de Moscou (matemática egípcia, cerca de 1890 a.C.). Todos estes textos versam sobre o então chamado Teorema de Pitágoras, que parece ser o progresso matemático mais amplamente difundido depois da aritmética básica e da geometria.

A contribuição greco-helênica refinou grandiosamente os métodos (especialmente através da introdução do raciocínio dedutivo e do rigor matemático em provas) e expandiu o tema da matemática, isto é, aquilo de que ela trata. O estudo da matemática como um tópico em si mesmo começa no século VI a.C. com os pitagóricos, os quais cunharam o termo "matemática" a partir do termo μάθημα (mathema) do grego antigo, significando, então, "tema do esclarecimento". A matemática chinesa fez contribuições já muito cedo, incluindo o sistema de notação posicional . O sistema númerico indo-arábico e as regras para o uso de suas operações, atualmente em uso no mundo todo, foi provavelmente desenvolvido em torno do ano 1000 d.C. na Índia e transmitido ao Ocidente através da matemática islâmica . A matemática islâmica, por sua vez, desenvolveu e expandiu a matemática conhecida destas civilizações9 . Muitos textos gregos e árabes sobre matemática foram então traduzidos ao latim, o que contribuiu com o desenvolvimento da matemática na Europa medieval.

Dos tempos antigos à Idade Média, a eclosão da criatividade matemática foi frequentemente seguida por séculos de estagnação. Começando no Renascimento, no século XVI, novos progressos da matemática, interagindo com as novas descobertas científicas, foram realizados de forma crescente, continuando assim até os dias de hoje.
Publicado por Caique (Turma 1002)

Origem: wikipedia

Coordenada do Vértice

Coordenadas do vértice da parábola

   Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V. 

Em qualquer caso, as coordenadas de V são . Veja os gráficos:

Imagem

     O conjunto-imagem Im da função y = ax² + bx + c,  a 0, é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades:

1ª - quando a > 0,

a > 0

2ª quando a < 0,                                                     

a < 0

Construção da Parábola

   É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de observação seguinte:

1. O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola;
2. Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x;
3. O vértice V  indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< 0);
4. A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos  y é o eixo de simetria da parábola;
5. Para x = 0 , temos y = a · 0² + b · 0 + c = c; então  (0, c) é o ponto em que a parábola corta o eixo dos y.

Sinal

   Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax² + bx + c e determinemos os valores de x para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é positivos.
    Conforme o sinal do discriminante  = b² - 4ac, podemos ocorrer os seguintes casos:

1º -   > 0
   Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1  x2). a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é  o indicado nos gráficos abaixo:

quando a > 0

y > 0 (x < x₁ ou x > x₂)
y < 0 x₁ < x < x₂

quando a < 0

y > 0 x₁ < x < x₂

y < 0  (x < x₁ ou x > x₂)

Publicado por Eduarda Costa (1001)