sábado, 30 de agosto de 2014
segunda-feira, 18 de agosto de 2014
Desafio da Semana
Um fazendeiro tem 100 m de cerca para construir uma área retangular. Determine suas dimensões sabendo que a sua área equivale a 600 metros quadrados:
Dica: Chame as dimensões do retângulo de x e y:
Resposta por Luana de Oliveira
y= 50-x
x(50-x)= 600
-x²+50x-600=0
Delta: b²-4ac
50²-4.(-1).(-600)
2500-2400= 100
x= -50+- 10/ -2
-50+10/-2=20
-50-10/-2=30
x= 20 y=30
Dica: Chame as dimensões do retângulo de x e y:
Como área do retângulo é base x altura então: A = xy = 600.
Resposta por Luana de Oliveira
y= 50-x
x(50-x)= 600
-x²+50x-600=0
Delta: b²-4ac
50²-4.(-1).(-600)
2500-2400= 100
x= -50+- 10/ -2
-50+10/-2=20
-50-10/-2=30
x= 20 y=30
Problema Resolvido de Função Quadrática
PM ES 2013 – Exatus)
Uma agência de viagens vende pacote turísticos coletivos com destino a Fortaleza. Um pacote para 40 clientes custa R$ 2000,00 por pessoa e, em caso de desistência, cada pessoa que permanecer no grupo deve pagar mais R$ 100,00 por cada desistente do pacote de viagem. Dessa forma, para que essa agência obtenha lucro máximo na venda desse pacote de viagens, o número de pessoas que devem realizar a viagem é igual a:
Solução: O preço total é dado pela quantidade de pessoas vezes o preço por pessoa, que é 2000 mais 100 por desistente. C(x) = x(2000 + 100(40 – x))
C(x) = x(2000 + 4000 – 100x) C(x) = x(6000 – 100x)
C(x) = 6000x – 100x²
Temos uma função do segundo grau.
Vamos calcular as raízes: 6000x – 100x² = 0. 60x – x² = 0
X(60 – x) = 0 Assim, x = 0 ou x = 60
C(x) = 6000x – 100x²
Temos uma função do segundo grau.
Vamos calcular as raízes: 6000x – 100x² = 0. 60x – x² = 0
X(60 – x) = 0 Assim, x = 0 ou x = 60
Como em nossa função o valor de a = -100 < 0, o gráfico é uma parábola para baixo, portanto possui valor máximo, e é exatamente o valor entre as raízes 0 e 60, portanto o valor máximo ocorre quando x = 30.
Bhaskara
A Índia foi berço de nascimento de um dos maiores matemáticos do mundo, Bhaskara.
... nasci na cidade de Ujein, às margens do rio local, de uma mulher que possuía uma boa saúde, mas, por infelicidade e complicação de parto, morreu ao me dar à luz em 1114. Meu pai era um alto funcionário do marajá local, e isso permitiu que eu tivesse oportunidade de me instruir nas ciências e nas leis.Com a morte de seu pai, em 1134, Bhaskara assumiu o cargo de secretário do governo de Ujein, espécie de juiz especializado em inventários:
O que Bhaskara chama de problemas de quadrado refere-se hoje as equações do segundo grau.
... o quadrado da quantidade de ouro referente ao primeiro Órfão mais três vezes essa mesma quantidade doada ao seguinte órfão deverá ser igual, por Justiça, a trinta e oito gramas...Bhaskara imortalizou-se aos 25 anos quando escreveu seu célebre Lilavati Vijaganita Grahagonita Gola, cujas palavras traduzidas individualmente, são: bonita cálculo - planetas - esfera. Aparentemente o manuscrito que teria sido escrito por Bhaskara e achado em Cachemira no século passado era dividido em quatro capítulos: Poesia, Matemática, Astronomia e Geometria. Daí o título confuso. É interessante notar que o trabalho desse matemático é todo escrito em versos destinados a sua filha:
"...minha filha, minha filha, a coisa mais bonita da Índia, me fale de suas dúvidas. Oh, querida, você esteve a tarde contando macacos, uns estavam nas arvores, outros no alto da montanha.....
O Lilavati Vijaganita traz ao público inúmeras descobertas de seu autor, sendo a mais célebre a fórmula que resolve as equações do segundo grau, seguida da clássica regra de três que Bhaskara chamou regra de quatro (três valores conhecidos e um desconhecido). Aparece também o valor de p como sendo 3, 14, resquícios da trigonometria de Ptolomeu e o Teorema de Pitágoras
minha filha Lilavati tem me questionado sobre os valores do lado oposto e adjacente de um triângulo retângulo.
Os gregos nos ensinaram a responder sobre o seno e o co-seno de um ângulo...
Nesse trecho do Lilavati víjaganita o autor chama sua filha de Lilavati, o que tem induzido muitos escritores a pensar que a melhor tradução do titulo de seu livro seja Matemática de Lilavati.
Sobre a filha de Bhaskara, existem duas versões nos textos antigos do século
XIII registrados pelos padres do mosteiro de Constantinopla:
"...quando os bárbaros invadiram a cidade de Uzein, seqüestraram todas as pessoas importantes, bem como seus bens. Lilavati tinha apenas treze anos. Seu pai, questionado pelos invasores sobre sua fórmula de resolver problemas, recusou-se a falar. Dizia tê-la esquecido já há muitos anos. Para ajuda-lo com a memória, levaram sua filha para o alto de uma torre, despiram-na e amarraram -lhe as pernas, abertas. Solta, ela deslizou sobre os bambus que conduziam a uma lâmina afiada que dividiu seu corpo em duas partes...
.... Bhaskara prometeu a Lilavati um horóscopo que identificasse o dia e hora ideal que deveria se casar. Uma vez determinado o momento, Lilavati esperou dois anos para desposar um jovem hindu. Quando faltavam alguns minutos para a cerimônia ao casamento, a jovem perdeu uma pérola que tinha pertencido à sua mãe e, entretida em procura-la, esqueceu do casamento. Bhaskara então recusou-se a casá-la e Lilavati cometeu suicídio...
A obra deste hindu traz, além de informações matemáticas, um raio X da sociedade de sua época. Relata que uma escrava alcançava preço máximo de quinze para dezesseis anos. Caso fosse bonita e virgem, valia oito bois; bonita e não virgem, quatro; feia e virgem, seis; e feia e não virgem, dois bois. Os juros praticados em seu tempo eram de quatro por cento ao mês, e o prazo de pagamento dos empréstimos não ultrapassava cinco meses. As dívidas não honradas davam ao credor o direito de escravizar a mulher e filhos do devedor, o qual, porém, não sofria nenhuma punição. Bhaskara teria escrito.
Esses homens que pedem clemência, quando da execução judicial, não entendem nossas leis. Por que emprestam dinheiro e arrendam terras se sabem que não poderão cumprir com as dívidas contraídas? Minha função é julgar e partilhar como prescreve nosso livro maior (espécie de Constituição)...
Em 1185, Bhaskara, então com 71 anos, morreu afogado num rio onde teria ido nadar.
terça-feira, 12 de agosto de 2014
Origem da Função Quadrática
Há registros de problemas envolvendo equações quadráticas com três termos, deixados pelos babilônios há aproximadamente 4000 anos .Esses estudos demonstram uma grande flexibilidade existente na Algébra desenvolvida entre eles , outros povos também contribuíram com esta parte da Álgebra até que se chegasse à representação atual de uma equação quadrática ax² + bx + c = 0com a não nulo , na qual o valor de x é obtido pela fórmula de Bháskara.
Essa organização de simbolos , que simplifica o estudo das quadráticas , é recente se for comparada com a idade da Álgebra.Foi no século XVII que Descartes utilizou as letras a, b e c para representar quantidades conhecidas e as letras do final do alfabeto , x, y e z , para representar as incógnitas. Além disso passou a usar a representação x² em lugar de x . x e x³ em lugar de x . x . x - René Descartes (1596-1650) era francês , formado em Direito e aos vinte anos sua insatisfação lançou-o como reformulador da filosofia que influenciava os acadêmicos da época. O seu mais celébre tratado, O discurso sobre o método para raciocinar bem e procurar a verdade nas ciências , é de 1637 e originou a Geometria Cartesiana , hoje dita Geometria Analítica , que nos mostra como as cinco operação aritméticas correspondem a construções feitas com régua e compasso,justificando a introdução de termos aritméticos em geometria.
Texto: Cleyton da Silva (1001)
Essa organização de simbolos , que simplifica o estudo das quadráticas , é recente se for comparada com a idade da Álgebra.Foi no século XVII que Descartes utilizou as letras a, b e c para representar quantidades conhecidas e as letras do final do alfabeto , x, y e z , para representar as incógnitas. Além disso passou a usar a representação x² em lugar de x . x e x³ em lugar de x . x . x - René Descartes (1596-1650) era francês , formado em Direito e aos vinte anos sua insatisfação lançou-o como reformulador da filosofia que influenciava os acadêmicos da época. O seu mais celébre tratado, O discurso sobre o método para raciocinar bem e procurar a verdade nas ciências , é de 1637 e originou a Geometria Cartesiana , hoje dita Geometria Analítica , que nos mostra como as cinco operação aritméticas correspondem a construções feitas com régua e compasso,justificando a introdução de termos aritméticos em geometria.
Texto: Cleyton da Silva (1001)
domingo, 10 de agosto de 2014
Quarto Desafio
Vamos ao quarto desafio deste blog:
Só vale quem acertar por exato os dois problemas abaixo: Quem puder comprovar com cálculos seria melhor e até para questões de desempate. Mas você pode colocar aqui ou no grupo Se Liga 1001 ou Se Liga 1002 no Facebook.
Queria pedir aos alunos que visualizam mas não conseguem participar que mande para meu e-mail prof.marcelo@gmail.com ou sinalize no grupo mencionado acima. O importante é participar.
(1) Sabendo que certo ângulo de lançamento, a altura K lançada por uma pedra, em metros, em função do tempo t, em segundos é dada por K = (-1/60) t2 + t. A partir disso, resolva:
(a) Em quanto tempo, após o lançamento da pedra ela atinge a altura máxima?
Xv = -1/2(-1/60) = 1/1/30 = 30 segundos.
(b) Qual a altura máxima atingida pela pedra em relação ao plano horizontal de onde foi lançada?
Yv = (-1/60). (900) + 30 = -15 + 30 = 15 metros.
(2) Segundo afirmam os fisiologistas, o número N de batimentos cardíacos por minuto de um indivíduo sadio e, em repouso varia em relação a temperatura ambiente (T) em graus Celsius e é dada pela função N(T) = (0,5)T2 - 4T + 90.
(a) Se uma pessoa estiver dormindo num quarto cuja refrigeração seja 20º C. Qual será o número de batimentos cardíacos por minuto dessa pessoa?
N(20) = (0,5) (400) - 4(20) + 90 = 200 - 80 + 90 = 170 batimentos cardíacos.
(b) A que temperatura, o número de batimentos cardíacos por minuto de uma pessoa sadia e, em repouso atingirá 90?
90 = (0,5) T.T - 4T + 90
90 - 90 = 0,5TT - 4T
0,5TT - 4T = 0
T(0,5T - 4) = 0,
T = 0 e 0,5T - 4 = 0
0,5T = 4
T = 4/0,5
T = 8º C
Só vale quem acertar por exato os dois problemas abaixo: Quem puder comprovar com cálculos seria melhor e até para questões de desempate. Mas você pode colocar aqui ou no grupo Se Liga 1001 ou Se Liga 1002 no Facebook.
Queria pedir aos alunos que visualizam mas não conseguem participar que mande para meu e-mail prof.marcelo@gmail.com ou sinalize no grupo mencionado acima. O importante é participar.
(1) Sabendo que certo ângulo de lançamento, a altura K lançada por uma pedra, em metros, em função do tempo t, em segundos é dada por K = (-1/60) t2 + t. A partir disso, resolva:
(a) Em quanto tempo, após o lançamento da pedra ela atinge a altura máxima?
Xv = -1/2(-1/60) = 1/1/30 = 30 segundos.
(b) Qual a altura máxima atingida pela pedra em relação ao plano horizontal de onde foi lançada?
Yv = (-1/60). (900) + 30 = -15 + 30 = 15 metros.
(2) Segundo afirmam os fisiologistas, o número N de batimentos cardíacos por minuto de um indivíduo sadio e, em repouso varia em relação a temperatura ambiente (T) em graus Celsius e é dada pela função N(T) = (0,5)T2 - 4T + 90.
(a) Se uma pessoa estiver dormindo num quarto cuja refrigeração seja 20º C. Qual será o número de batimentos cardíacos por minuto dessa pessoa?
N(20) = (0,5) (400) - 4(20) + 90 = 200 - 80 + 90 = 170 batimentos cardíacos.
(b) A que temperatura, o número de batimentos cardíacos por minuto de uma pessoa sadia e, em repouso atingirá 90?
90 = (0,5) T.T - 4T + 90
90 - 90 = 0,5TT - 4T
0,5TT - 4T = 0
T(0,5T - 4) = 0,
T = 0 e 0,5T - 4 = 0
0,5T = 4
T = 4/0,5
T = 8º C
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