segunda-feira, 20 de outubro de 2014
domingo, 19 de outubro de 2014
Equações Exponenciais
Equações exponenciais são aquelas em que a incógnita se encontra no expoente de pelo menos uma potência. A forma de resolução de uma equação exponencial permite que as funções exponenciais sejam também resolvidas de forma prática. Esse tipo de função apresenta características individuais na análise de fenômenos que crescem ou decrescem rapidamente. Elas desempenham papéis fundamentais na Matemática e nas ciências envolvidas com ela, como: Física, Química, Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia entre outras.
Exemplos de equações exponenciais:
10x = 100
2x + 12 = 20
9x = 81
5x+1 = 25
Para resolvermos uma equação exponencial precisamos aplicar técnicas para igualar as bases, assim podemos dizer que os expoentes são iguais. Observe a resolução da equação exponencial a seguir:
3x = 2187 (fatorando o número 2187 temos: 37)
3x = 37
x = 7
O valor de x na equação é 7.
Vamos resolver mais algumas equações exponenciais:
2x + 12 = 1024
2x + 12 = 210
x + 12 = 10
x = 10 – 12
x = – 2
2 4x + 1 * 8 –x + 3 = 16 –1
2 4x + 1 * 2 3(–x + 3) = 2 -4
2 4x + 1 * 2 –3x + 9 = 2-4
4x + 1 – 3x + 9 = – 4
4x – 3x = –1 – 4 – 9
x = – 14
5 x + 3 * 5 x + 2 * 5 x = 125
5 x + 3 * 5 x + 2 * 5 x = 5 3
x + 3 + x + 2 + x = 3
3x = 3 – 5
3x = – 2
x = –2/3
2 3x – 2 * 8 x + 1 = 4 x – 1
2 3x – 2 * 2 3(x + 1) = 2 2(x – 1)
3x – 2 + 3(x + 1) = 2(x – 1)
3x – 2 + 3x + 3 = 2x – 2
3x + 3x – 2x = – 2 + 2 – 3
4x = – 3
x = –3/4
2 2x + 1 * 2 x + 4 = 2 x + 2 * 32
2 2x + 1 * 2 x + 4 = 2 x + 2 * 2 5
2x + 1 + x + 4 = x + 2 + 5
2x + x – x = 2 + 5 – 1 – 4
2x = 2
x = 1
Exemplos de equações exponenciais:
10x = 100
2x + 12 = 20
9x = 81
5x+1 = 25
Para resolvermos uma equação exponencial precisamos aplicar técnicas para igualar as bases, assim podemos dizer que os expoentes são iguais. Observe a resolução da equação exponencial a seguir:
3x = 2187 (fatorando o número 2187 temos: 37)
3x = 37
x = 7
O valor de x na equação é 7.
Vamos resolver mais algumas equações exponenciais:
2x + 12 = 1024
2x + 12 = 210
x + 12 = 10
x = 10 – 12
x = – 2
2 4x + 1 * 8 –x + 3 = 16 –1
2 4x + 1 * 2 3(–x + 3) = 2 -4
2 4x + 1 * 2 –3x + 9 = 2-4
4x + 1 – 3x + 9 = – 4
4x – 3x = –1 – 4 – 9
x = – 14
5 x + 3 * 5 x + 2 * 5 x = 125
5 x + 3 * 5 x + 2 * 5 x = 5 3
x + 3 + x + 2 + x = 3
3x = 3 – 5
3x = – 2
x = –2/3
2 3x – 2 * 8 x + 1 = 4 x – 1
2 3x – 2 * 2 3(x + 1) = 2 2(x – 1)
3x – 2 + 3(x + 1) = 2(x – 1)
3x – 2 + 3x + 3 = 2x – 2
3x + 3x – 2x = – 2 + 2 – 3
4x = – 3
x = –3/4
2 2x + 1 * 2 x + 4 = 2 x + 2 * 32
2 2x + 1 * 2 x + 4 = 2 x + 2 * 2 5
2x + 1 + x + 4 = x + 2 + 5
2x + x – x = 2 + 5 – 1 – 4
2x = 2
x = 1
Função Exponencial
Toda relação de dependência, em que uma incógnita depende do valor da outra, é denominada função. A função denominada como exponencial possui essa relação de dependência e sua principal característica é que a parte variável representada por x se encontra no expoente. Observe:
y = 2 x
y = 3 x + 4
y = 0,5 x
y = 4 x
A lei de formação de uma função exponencial indica que a base elevada ao expoente x precisa ser maior que zero e diferente de um, conforme a seguinte notação:
f: R→R tal que y = a x, sendo que a > 1 ou 0 < a < 1.
Uma função pode ser representada através de um gráfico, e no caso da exponencial, temos duas situações: a > 1 e 0 < a < 1. Observe como os gráficos são constituídos respeitando as condições propostas:
y = 2 x
y = 3 x + 4
y = 0,5 x
y = 4 x
A lei de formação de uma função exponencial indica que a base elevada ao expoente x precisa ser maior que zero e diferente de um, conforme a seguinte notação:
f: R→R tal que y = a x, sendo que a > 1 ou 0 < a < 1.
Uma função pode ser representada através de um gráfico, e no caso da exponencial, temos duas situações: a > 1 e 0 < a < 1. Observe como os gráficos são constituídos respeitando as condições propostas:
Uma função exponencial é utilizada na representação de situações em que a taxa de variação é considerada grande, por exemplo, em rendimentos financeiros capitalizados por juros compostos, no decaimento radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento de bactérias e micro-organismos, crescimento populacional entre outras situações. As funções exponenciais devem ser resolvidas utilizando, se necessário, as regras envolvendo potenciação.
Vamos apresentar alguns exemplos envolvendo o uso de funções exponenciais.
Exemplo 1
(Unit-SE) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v0 * 2 –0,2t, em que v0 é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi comprada.
Temos que v(10) = 12 000, então:
v(10) = v0 * 2 –0,2*10
12 000 = v0 * 2 –2
12 000 = v0 * 1/4
12 000 : 1/ 4 = v0
v0 = 12 000 * 4
v0 = 48 000
Vamos apresentar alguns exemplos envolvendo o uso de funções exponenciais.
Exemplo 1
(Unit-SE) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v0 * 2 –0,2t, em que v0 é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi comprada.
Temos que v(10) = 12 000, então:
v(10) = v0 * 2 –0,2*10
12 000 = v0 * 2 –2
12 000 = v0 * 1/4
12 000 : 1/ 4 = v0
v0 = 12 000 * 4
v0 = 48 000
A máquina foi comprada pelo valor de R$ 48 000,00.
Exemplo 2
(EU-PI) Suponha que, em 2003, o PIB (Produto Interno Bruto) de um país seja de 500 bilhões de dólares. Se o PIB crescer 3% ao ano, de forma cumulativa, qual será o PIB do país em 2023, dado em bilhões de dólares? Use 1,0320 = 1,80.
Exemplo 2
(EU-PI) Suponha que, em 2003, o PIB (Produto Interno Bruto) de um país seja de 500 bilhões de dólares. Se o PIB crescer 3% ao ano, de forma cumulativa, qual será o PIB do país em 2023, dado em bilhões de dólares? Use 1,0320 = 1,80.
Revisão de Potências
Potência é todo número na forma an, com a ≠ 0.
a é a base, n é o expoente e an é a potência.
an = a x a x a x a x...a (n vezes)
Por convenção, admitiremos que todo número elevado a 0 é igual a 1, a0 = 1 e todo número elevado a 1 é igual a ele próprio, a1 = a.
Exemplos
21 = 2 540 = 1 44 = 256 53 = 125
Potência de base racional
Para resolver uma potência cuja base é um número fracionário, elevamos tanto o numerador quanto o denominador da fração ao expoente dado.
Exemplo
Potência de expoente negativo
A ideia de inverso é utilizada para solucionar potências de expoente negativo, transformamos numerador em denominador, e vice-versa, logo após, tornamos o expoente positivo.
Exemplos
Multiplicação de potências de mesma base
Resolvemos a multiplicação de potências de mesma base conservando uma das bases e adicionando os expoentes.
am . an = am + n
Exemplos
Divisão de potências de mesma base
Toda divisão de potências de mesma base, com esta diferente de zero, pode ser resolvida conservando uma das bases e subtraindo os expoentes.
am : an = am – n, com a ≠ 0.
Exemplos
Multiplicação de fatores elevados ao mesmo expoente
Para o produto de dois ou mais fatores elevados ao mesmo expoente, elevamos cada um dos fatores ao expoente dado na questão.
(a . b)n = an . bn
Exemplos
(5 . 6)4 → 54 . 64 (0,2 . 1,3)3 → (0,2)3 . (1,3)3
Divisão de expoente igual
Aqui segue-se o mesmo critério dado na propriedade anterior: eleva-se o dividendo e o divisor ao mesmo expoente.
(a : b)n = an : bn
Exemplos
(9 : 8)5 = 95 : 85 (2,3 : 0,1)2 = (2,3)2 : (0,1)2
Potência de potência
Quando elevamos uma determinada potência à outra potência, temos uma potência de potência. Para resolvê-la, podemos conservar a base e multiplicar os expoentes.
(am)n = am . n
Exemplos
(23)4 → 23 . 4 = 212 [(1/5)2]5 → (1/5)2 . 5 = (1/5)10
Potência de base 10
A potência de base 10 é utilizada para abreviar a escrita de números que contenham n fatores 10, facilitando assim sua representação.
Exemplos
105 = 100000 (5 zeros)
107 = 10000000 (7 zeros)
103 = 1000 (3 zeros)
107 = 10000000 (7 zeros)
103 = 1000 (3 zeros)
Nesse tipo de potência, quanto o expoente for positivo, ele indica a quantidade de zeros que deverão ser acrescentados após o algarismo 1.
10-2 = 0,01 (2 casas decimais)
10-5 = 0,00001 (5 casas decimais)
10-5 = 0,00001 (5 casas decimais)
Aqui, como o expoente é negativo, ele indica o número de casas decimais que deverão ser criadas a partir do zero e com final 1.
Considerações finais
É muito importante e necessário que se conheça sobre os vários tipos de conteúdos que nos ajudam a, cotidianamente, facilitar nossa vida social. Exemplo disso são as potências. Elas nos trazem conforto na hora de calcular, nos ajudam a compreender melhor as ideias de divisão e multiplicação, nos abrem as portas, através de suas propriedades, dos saberes algébricos generalizantes do conhecimento matemático e facilitadores da aplicabilidade dos estudos realizados.
Nenhum conhecimento é tão completo que encerre-se em si mesmo, nem tão pobre que deva ser descartado ao primeiro olhar. Todos os sabres deverão passar por sério processo de análise, processamento mental e arquivamento, pois, com certeza, eles serão utilizados posteriormente à medida que novos desafios forem surgindo em nossas jornadas naturais. Não tenhamos os estudos como fardos que somos obrigados a levar ao longo dos nossos dias, mas sim, como relíquias, que temos que guardar, apreciar e exibir como troféus conquistados nas maratonas do saber educacional.
“Uma boa educação é aquela que prepara cidadãos críticos e reflexivos sobre os males que assolam a sociedade na qual estão inseridos.”
Robison Sá.
Quarto Bimestre
Chegamos ao Quarto Bimestre.
Depois de um tempo ausente este blog recomeça com força total!
Haverá desafios valendo pontos e prêmios. A partir de agora colocarei simultaneamente o desafio aqui e no grupo do Facebook: Se liga 1001 e Se liga 1002. Portanto procurem e façam o contato necessário. Qualquer problema me avisem.
Abraços! Professor Marcelo
Depois de um tempo ausente este blog recomeça com força total!
Haverá desafios valendo pontos e prêmios. A partir de agora colocarei simultaneamente o desafio aqui e no grupo do Facebook: Se liga 1001 e Se liga 1002. Portanto procurem e façam o contato necessário. Qualquer problema me avisem.
Abraços! Professor Marcelo
Bhaskara por Wagner Cristinao
Bhaskara Akaria (em canarês: ಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯ; 1114 — 11851 ), também
conhecido como Bhaskara II2 nasceu próximo à Vijayapura, na Índia.
Nascido numa tradicional família de astrólogos indianos, seguiu a
tradição profissional da família, porém com uma orientação científica,
dedicando-se mais à parte matemática e astronômica (tais como o
cálculo do dia e hora da ocorrência de eclipses ou das posições e
conjunções dos planetas) que dá sustentação à Astrologia.
Foi um matemático, professor, astrólogo e astrônomo, o mais importante
matemático do século XII e último matemático medieval importante da
Índia. Seus méritos foram logo reconhecidos e muito cedo atingiu o
posto de diretor do Observatório de Ujjain, o maior centro de
pesquisas matemáticas e astronômicas da Índia na época, fama
desenvolvida por excelentes matemáticos como Varahamihira e
Brahmagupta, que ali tinham trabalhado e construído uma forte escola
de astronomia matemática. Ele viveu maior parte de sua vida na região
de Sahyadri.3
Sua obra representou a culminação de contribuições hindus anteriores.
Seis trabalhos seus são conhecidos e um sétimo trabalho, reivindicado
para ele, é considerado por muitos historiadores como uma não
falsificação posterior. Filho de um astrólogo famoso chamado
Mahesvara4 , tornou-se conhecido pela complementação da obra do
conterrâneo Brahmagupta, por exemplo dando pioneiramente a solução
geral da conhecida equação de Pell e a solução de um problema da
divisão por zero, ao afirmar também pioneiramente, em sua publicação
Vija-Ganita ou Bijaganita, um trabalho em 12 capítulos, que tal
quociente seria infinito.
O livro mais famoso de Bhaskara Akaria é o Lilavati, obra elementar
dedicada a problemas simples de aritmética, geometria plana (medidas e
trigonometria elementar) e combinatória.
A palavra Lilavati é um nome próprio de mulher (a tradução é
"Graciosa"), e a razão de ter dado esse título a seu livro é porque,
provavelmente, teria desejado fazer um trocadilho comparando a
elegância de uma mulher da nobreza, com a elegância dos métodos da
aritmética.
Em uma tradução turca desse livro, feita 400 anos mais tarde, teria
sido inventada a história de que o livro seria uma homenagem à filha
que não pode se casar.[carece de fontes] Bhaskara escreveu também um
livro chamado Vijaganita, que mostra como resolver equações. Foi o
primeiro livro a reconhecer que um número positivo pode ter duas
raízes, uma positiva e outra negativa. Escreveu várias obras sobre
Matemática e Astronomia: "Bijaganita" (Compêndio de Aritmética),
"Goladhia" (Teoria da Esfera), "Siddhanta Siromani (Jóia de precisão),
"Karanakutuhala" (Cálculo de Maravilhas da Astronomia) sendo a mais
conhecida o "Lilavati".
conhecido como Bhaskara II2 nasceu próximo à Vijayapura, na Índia.
Nascido numa tradicional família de astrólogos indianos, seguiu a
tradição profissional da família, porém com uma orientação científica,
dedicando-se mais à parte matemática e astronômica (tais como o
cálculo do dia e hora da ocorrência de eclipses ou das posições e
conjunções dos planetas) que dá sustentação à Astrologia.
Foi um matemático, professor, astrólogo e astrônomo, o mais importante
matemático do século XII e último matemático medieval importante da
Índia. Seus méritos foram logo reconhecidos e muito cedo atingiu o
posto de diretor do Observatório de Ujjain, o maior centro de
pesquisas matemáticas e astronômicas da Índia na época, fama
desenvolvida por excelentes matemáticos como Varahamihira e
Brahmagupta, que ali tinham trabalhado e construído uma forte escola
de astronomia matemática. Ele viveu maior parte de sua vida na região
de Sahyadri.3
Sua obra representou a culminação de contribuições hindus anteriores.
Seis trabalhos seus são conhecidos e um sétimo trabalho, reivindicado
para ele, é considerado por muitos historiadores como uma não
falsificação posterior. Filho de um astrólogo famoso chamado
Mahesvara4 , tornou-se conhecido pela complementação da obra do
conterrâneo Brahmagupta, por exemplo dando pioneiramente a solução
geral da conhecida equação de Pell e a solução de um problema da
divisão por zero, ao afirmar também pioneiramente, em sua publicação
Vija-Ganita ou Bijaganita, um trabalho em 12 capítulos, que tal
quociente seria infinito.
O livro mais famoso de Bhaskara Akaria é o Lilavati, obra elementar
dedicada a problemas simples de aritmética, geometria plana (medidas e
trigonometria elementar) e combinatória.
A palavra Lilavati é um nome próprio de mulher (a tradução é
"Graciosa"), e a razão de ter dado esse título a seu livro é porque,
provavelmente, teria desejado fazer um trocadilho comparando a
elegância de uma mulher da nobreza, com a elegância dos métodos da
aritmética.
Em uma tradução turca desse livro, feita 400 anos mais tarde, teria
sido inventada a história de que o livro seria uma homenagem à filha
que não pode se casar.[carece de fontes] Bhaskara escreveu também um
livro chamado Vijaganita, que mostra como resolver equações. Foi o
primeiro livro a reconhecer que um número positivo pode ter duas
raízes, uma positiva e outra negativa. Escreveu várias obras sobre
Matemática e Astronomia: "Bijaganita" (Compêndio de Aritmética),
"Goladhia" (Teoria da Esfera), "Siddhanta Siromani (Jóia de precisão),
"Karanakutuhala" (Cálculo de Maravilhas da Astronomia) sendo a mais
conhecida o "Lilavati".
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