Origem da Função Quadrática

Há registros de problemas envolvendo equações quadráticas com três termos, deixados pelos babilônios há aproximadamente 4000 anos .Esses estudos demonstram uma grande flexibilidade existente na Algébra desenvolvida entre eles , outros povos também contribuíram com esta parte da Álgebra até que se chegasse à representação atual de uma equação quadrática ax² + bx + c = 0com a não nulo , na qual o valor de x é obtido pela fórmula de Bháskara.
Essa organização de simbolos , que simplifica o estudo das quadráticas , é recente se for comparada com a idade da Álgebra.Foi no século XVII que Descartes utilizou as letras a, b e c para representar quantidades conhecidas e as letras do final do alfabeto , x, y e z , para representar as incógnitas. Além disso passou a usar a representação x² em lugar de x . x e x³ em lugar de x . x . x - René Descartes (1596-1650) era francês , formado em Direito e aos vinte anos sua insatisfação lançou-o como reformulador da filosofia que influenciava os acadêmicos da época. O seu mais celébre tratado, O discurso sobre o método para raciocinar bem e procurar a verdade nas ciências , é de 1637 e originou a Geometria Cartesiana , hoje dita Geometria Analítica , que nos mostra como as cinco operação aritméticas correspondem a construções feitas com régua e compasso,justificando a introdução de termos aritméticos em geometria.

Texto: Cleyton da Silva (1001)

Quarto Desafio

Vamos ao quarto desafio deste blog:
Só vale quem acertar por exato os dois problemas abaixo: Quem puder comprovar com cálculos seria melhor e até para questões de desempate. Mas você pode colocar aqui ou no grupo Se Liga 1001 ou Se Liga 1002 no Facebook.
Queria pedir aos alunos que visualizam mas não conseguem participar que mande para meu e-mail prof.marcelo@gmail.com ou sinalize no grupo mencionado acima. O importante é participar.

(1) Sabendo que certo ângulo de lançamento, a altura K lançada por uma pedra, em metros, em função do tempo t, em segundos é dada por K = (-1/60) t² + t. A partir disso, resolva:

(a) Em quanto tempo, após o lançamento da pedra ela atinge a altura máxima?

Xv = -1/2(-1/60) = 1/1/30 = 30 segundos.

(b) Qual a altura máxima atingida pela pedra em relação ao plano horizontal de onde foi lançada?

Yv = (-1/60). (900) + 30 = -15 + 30 = 15 metros.

(2) Segundo afirmam os fisiologistas, o número N de batimentos cardíacos por minuto de um indivíduo sadio e, em repouso varia em relação a temperatura ambiente (T) em graus Celsius e é dada pela função N(T) = (0,5)T² - 4T + 90.

(a) Se uma pessoa estiver dormindo num quarto cuja refrigeração seja 20º C. Qual será o número de batimentos cardíacos por minuto dessa pessoa?

N(20) = (0,5) (400) - 4(20) + 90 = 200 - 80 + 90 = 170 batimentos cardíacos.

^(b) A que temperatura, o número de batimentos cardíacos por minuto de uma pessoa sadia e, em repouso atingirá 90?

90 = (0,5) T.T - 4T + 90
90 - 90 = 0,5TT - 4T
0,5TT - 4T = 0
T(0,5T - 4) = 0,
T = 0 e 0,5T - 4 = 0
0,5T = 4
T = 4/0,5
T = 8º C

História da Matemática

A história da matemática é uma área de estudo dedicada à investigação sobre a origem das descobertas da matemática e, em uma menor extensão, à investigação dos métodos matemáticos e aos registros ou notações matemáticas do passado.

Anteriormente à modernidade e à expansão mundial do conhecimento, os exemplos escritos de novos progressos matemáticos tornaram-se conhecidos em apenas poucas localidades. Os textos matemáticos mais arcaicos disponíveis que nos são conhecidos são o Plimpton 322 (matemática babilônica, cerca de 1900 a.C.) , o Papiro Matemático de Rhind (matemática egípcia, cerca de 2000-1800 a.C.) e o Papiro Matemático de Moscou (matemática egípcia, cerca de 1890 a.C.). Todos estes textos versam sobre o então chamado Teorema de Pitágoras, que parece ser o progresso matemático mais amplamente difundido depois da aritmética básica e da geometria.

A contribuição greco-helênica refinou grandiosamente os métodos (especialmente através da introdução do raciocínio dedutivo e do rigor matemático em provas) e expandiu o tema da matemática, isto é, aquilo de que ela trata. O estudo da matemática como um tópico em si mesmo começa no século VI a.C. com os pitagóricos, os quais cunharam o termo "matemática" a partir do termo μάθημα (mathema) do grego antigo, significando, então, "tema do esclarecimento". A matemática chinesa fez contribuições já muito cedo, incluindo o sistema de notação posicional . O sistema númerico indo-arábico e as regras para o uso de suas operações, atualmente em uso no mundo todo, foi provavelmente desenvolvido em torno do ano 1000 d.C. na Índia e transmitido ao Ocidente através da matemática islâmica . A matemática islâmica, por sua vez, desenvolveu e expandiu a matemática conhecida destas civilizações9 . Muitos textos gregos e árabes sobre matemática foram então traduzidos ao latim, o que contribuiu com o desenvolvimento da matemática na Europa medieval.

Dos tempos antigos à Idade Média, a eclosão da criatividade matemática foi frequentemente seguida por séculos de estagnação. Começando no Renascimento, no século XVI, novos progressos da matemática, interagindo com as novas descobertas científicas, foram realizados de forma crescente, continuando assim até os dias de hoje.
Publicado por Caique (Turma 1002)

Origem: wikipedia

Coordenada do Vértice

Coordenadas do vértice da parábola

   Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V. 

Em qualquer caso, as coordenadas de V são . Veja os gráficos:

Imagem

     O conjunto-imagem Im da função y = ax² + bx + c,  a 0, é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades:

1ª - quando a > 0,

a > 0

2ª quando a < 0,                                                     

a < 0

Construção da Parábola

   É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de observação seguinte:

1. O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola;
2. Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x;
3. O vértice V  indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< 0);
4. A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos  y é o eixo de simetria da parábola;
5. Para x = 0 , temos y = a · 0² + b · 0 + c = c; então  (0, c) é o ponto em que a parábola corta o eixo dos y.

Sinal

   Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax² + bx + c e determinemos os valores de x para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é positivos.
    Conforme o sinal do discriminante  = b² - 4ac, podemos ocorrer os seguintes casos:

1º -   > 0
   Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1  x2). a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é  o indicado nos gráficos abaixo:

quando a > 0

y > 0 (x < x₁ ou x > x₂)
y < 0 x₁ < x < x₂

quando a < 0

y > 0 x₁ < x < x₂

y < 0  (x < x₁ ou x > x₂)

Publicado por Eduarda Costa (1001)

Música da Função Quadrática

Paródia da música ''Dark Horse'' da Katy Perry no Youtube, ai nesse vídeo fala da Função Quadrática https://www.youtube.com/watch?v=AD5tHGyUmjw não sei se é boa pra por no blog, mas dá uma olhada e vê se ta legal 

Aluna : Eduarda  

Turma : 1001

Área de anexos

Visualizar o vídeo Paródia da música "Dark Horse": Função Quadrática. UNASP EC do YouTube

Paródia da música "Dark Horse": Função Quadrática. UNASP EC

Aplicação na Função Quadrática

Existem objetos de aprendizagem que contribuem muito para que os alunos aprendam a relacionar variáveis (as letras) em uma função, realizar experimentos, alterar valores e verificar relações de causa e efeito. Eis o objeto recomendado para a atividade usando computadores na escola:

Clique no link para abrir o simulador: projectile-motion.

No simulador, os alunos podem modificar a massa e diâmetro dos projéteis, sua velocidade inicial, o ângulo de lançamento e até mesmo o efeito da resistência do ar. Além disso, é possível brincar de atingir o alvo marcado no chão. Para tirar o máximo de proveito dessa atividade o professor deve realizar perguntas aos alunos no que diz respeito às alterações nas variáveis, como por exemplo pedir que eles variem apenas a massa do projétil e que observem o que acontece com o tempo e a distância. É importante estimular os alunos a estabelecerem e anotarem as relações percebidas e por fim, desafiá-los com relação a função quadrática que relaciona a distância do lançamento com o quadrado da variável tempo.

Produzindo Gráficos com uma Planilha Eletrônica (Microsoft Office ou BrOffice)

Acesse o post Estudo de funções matemáticas usando o Excel [Função Quadrática]  e aprenda de forma fácil e rápida como construir gráficos de funções do 2º grau e outros tipos de funções. Neste link a versão para o LibreOffice.

O alunos podem trabalhar no seu próprio gráfico da função quadrática utilizando uma planilha eletrônica como o software livre BrOffice: http://www.broffice.org/

O primeiro passo é criar uma pequena tabela de valores de x e y. Na coluna dos valores de x, basta digitar alguns valores que formarão os pontos do gráfico e permitirão a construção da curva.

Na coluna de valores de y, digitamos uma função quadrática na célula correspondente ao menor valor de x. Como exemplo, usaremos a função y = x² - 8x + 12. Observe a imagem abaixo.

Observe que a função y = x² - 8x + 12 é escrita na célula A2 da seguinte forma: =POTÊNCIA(A2;2)-8*A2+12 . A2 corresponde ao valor de x e, entre parênteses é acompanhado do número 2, indicando que o valor do x é elevado ao quadrado. POTÊNCIA é uma função matemática disponível no programa. Clicando no ponto preto em B2 e arrastando até a célula B6, os cálculos são feitos automaticamente.

Para gerar o gráfico, basta selecionar as colunas e clicar no ícone de construção de gráficos (semelhante ao gráfico tipo pizza) e selecionar as opções apresentadas na imagem acima. Feito isso, o gráfico deve aparecer após clicar no botão Concluir.

Eu sugiro deixar os alunos experimentarem outros valores, além de alterarem formatos e caracterísiticas do gráficos, de forma a que eles possam relacionar a variáveis envolvidas, permitindo que a experimentação contribua para a aprendizagem dos conceitos. Essa é uma boa oportunidade para apresentar aos alunos as raízes da função ( ou zeros de uma função), valores de x que resultam em y = 0. Também pode-se solicitar aos alunos para tornarem negativo o valor de x ao quadrado na função e verificarem o que acontece com o vértice da parábola.

Nas atividades de sala de aula, seria importante trabalhar a construção do gráfico da função utilizando calculadoras e papel quadriculado (milimetrado) e  após recriar os mesmos gráficos usando os computadores da escola.

Uma atividade interessante que pode envolver os alunos na produção da avaliação é pedir que eles criem funções quadráticas como desafios e troquem com os colegas para a produção no computador. Os pares ou pequenos grupos poderiam apresentar e discutir seus resultados em conjunto e isso permitiria a avaliação do aproveitamento dos alunos, além dos esclarecimentos necessários às dificuldades encontradas.

Terceiro Desafio

Com base na aula do dia 04 de agosto de 2014. Resolva os problemas coloque as respostas aqui ou no face, Mas me avisem porque desta vez vale um presente especial para o primeiro que acertar as duas questões abaixo:

(Questão 01)

O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente, é descrito por: y = – 40x² + 200x. Onde y é a altura, em metros, atingida pelo projétil x segundos após o lançamento. 

(a) Qual o tempo que esse projétil permanece no ar?

(b) Qual é altura máxima atingida pelo projétil?

Solução:

(a) Xv = -200/2.(-40)= -200/-80= 2,5 segundos.

(b) Yv = -40.(2.5)² + 200.(2,5)
-40.(6,25) + 500
- 250 + 500 = 250m

(Questão 02)

Em cada uma das funções abaixo encontre o vértice e classifique em ponto máximo ou mínimo a função dada:

.

(a) f(x) = x2 - 8x + 15 (b) f(x) = 3x² - 6x + 24 (c) f(x) = -5x² +10x - 20 Solução:  (a) Xv = 8/4 = 2     Yv =2.(2) - 8.(2) + 15 = 4 - 16 + 15 = 3. Vértice (2,3) Tem ponto minimo pois a concavidade é para cima (a > 0) (b) Xv = 6/2.(3) = 6/6 = 1  Yv = 3,(1)²-6.(1) + 24 = 3 - 6 + 24 = -3 + 24 = 21 Vertice (1,21) Tem ponto mínimo. (c) Xv = -10/2.(-5) = -10/-10 = 1   Yv = -5.(1) + 10.(1) - 20 = -5 + 10 - 20 = -15 Vértice (1,-15) Tem ponto Máximo pois a concavidade é para baixo (a < 0)  Colaboração na Resposta: CLEYTON DA SILVA (1001) LUANA DE OLIVEIRA (1002) GLEICE PAULINO (1002)